Tối ưu pareto là gì? Các bài nghiên cứu khoa học liên quan

Định nghĩa tối ưu Pareto

Tối ưu Pareto là khái niệm trung tâm trong bài toán tối ưu đa mục tiêu, mô tả trạng thái mà tại đó không thể cải thiện một mục tiêu nào mà không làm giảm hiệu quả của ít nhất một mục tiêu khác. Một nghiệm thuộc loại này được gọi là nghiệm không bị chi phối (non-dominated solution), hay còn gọi là nghiệm Pareto tối ưu. Đây là cơ sở cho việc xây dựng các quyết định cân bằng trong hệ thống có nhiều tiêu chí đánh giá.

Trong thực tiễn, các hệ thống kỹ thuật, kinh tế, logistics hay trí tuệ nhân tạo thường có nhiều mục tiêu cần tối ưu hóa đồng thời, trong đó các mục tiêu có thể mâu thuẫn lẫn nhau. Khái niệm Pareto cho phép định nghĩa một tập hợp các giải pháp tốt nhất theo nghĩa không thể cải thiện một cách tuyệt đối. Tập hợp này được gọi là biên Pareto (Pareto front) và là đích đến của các thuật toán tối ưu đa mục tiêu.

Ví dụ, trong thiết kế động cơ, người ta có thể muốn đồng thời tối ưu hiệu suất nhiên liệu và giảm phát thải. Không tồn tại một thiết kế duy nhất thỏa mãn hoàn hảo cả hai yêu cầu, mà thay vào đó là một tập các thiết kế tối ưu Pareto — mỗi thiết kế đại diện cho một sự đánh đổi khác nhau giữa hai mục tiêu.

Biểu diễn toán học

Một bài toán tối ưu đa mục tiêu tổng quát có thể được mô tả như sau:

$\text{Minimize} \quad \mathbf{f}(x) = (f_1(x), f_2(x), \dots, f_k(x)), \quad x \in X$

Trong đó:

• $x$ là biến quyết định thuộc tập hợp khả thi $X$
• $f_i(x)$ là các hàm mục tiêu cần tối ưu ($i = 1 \dots k$)

Một nghiệm $x^* \in X$ được gọi là Pareto tối ưu nếu không tồn tại $x \in X$ sao cho:

$\forall i \in \{1,\dots,k\}: f_i(x) \leq f_i(x^*) \quad \text{và} \quad \exists j: f_j(x) < f_j(x^*)$

Điều này có nghĩa là không có nghiệm nào khác tốt hơn về mọi mặt. Nếu tồn tại nghiệm $x$ như vậy, $x^*$ sẽ bị chi phối (dominated).

Để dễ hình dung, bảng sau minh họa mối quan hệ chi phối giữa hai phương án A và B theo hai mục tiêu $f_1$ và $f_2$ (giả sử mục tiêu là minimization):

Ý nghĩa trong kinh tế học

Khái niệm tối ưu Pareto bắt nguồn từ nhà kinh tế học người Ý Vilfredo Pareto. Trong kinh tế học vi mô, một phân bổ nguồn lực được gọi là Pareto hiệu quả nếu không có cách nào tái phân phối lại mà cải thiện phúc lợi cho một cá nhân mà không làm giảm phúc lợi của người khác. Đây là nền tảng của lý thuyết phân tích hiệu quả kinh tế.

Ví dụ, trong một nền kinh tế với hai người và hai hàng hóa, trạng thái Pareto tối ưu xảy ra khi không thể lấy thêm một đơn vị hàng hóa từ người này để trao cho người kia mà không làm một trong hai người thiệt hại. Đường giới hạn khả năng sản xuất (Production Possibility Frontier – PPF) chính là biểu diễn trực quan của biên Pareto trong không gian hai hàng hóa.

Khái niệm Pareto không liên quan đến tính công bằng hay tối đa hóa tổng phúc lợi xã hội. Một trạng thái Pareto tối ưu có thể rất bất bình đẳng. Vì vậy, trong kinh tế học phúc lợi, nó thường được kết hợp với các tiêu chí khác để đưa ra quyết định chính sách. Một số ứng dụng phổ biến bao gồm:

• Phân tích hiệu quả thuế
• Đánh giá tác động tái phân phối thu nhập
• Xác định điểm cân bằng trong mô hình thị trường cạnh tranh

Ứng dụng trong kỹ thuật và thiết kế

Tối ưu Pareto được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực kỹ thuật nhằm giải quyết những bài toán có nhiều tiêu chí đánh giá mâu thuẫn nhau. Trong thiết kế sản phẩm, kỹ sư thường cần cân nhắc giữa các mục tiêu như chi phí, độ bền, trọng lượng, tính thẩm mỹ và hiệu suất vận hành. Những tiêu chí này không thể đồng thời đạt cực trị, do đó cần tìm tập các phương án tối ưu Pareto.

Ví dụ, trong thiết kế kết cấu cầu, kỹ sư có thể cần tối ưu hóa:

• Trọng lượng kết cấu (mục tiêu 1 – minimization)
• Độ võng tối đa (mục tiêu 2 – minimization)
• Chi phí xây dựng (mục tiêu 3 – minimization)

Một giải pháp cụ thể có thể tối ưu được hai trong ba tiêu chí, nhưng khó đạt được cực tiểu cho cả ba cùng lúc. Bằng cách xây dựng biên Pareto, người thiết kế có thể lựa chọn phương án phù hợp nhất tùy theo ưu tiên hoặc ràng buộc dự án.

Tập nghiệm Pareto trong các bài toán kỹ thuật thường được xây dựng bằng thuật toán tiến hóa như NSGA-II, SPEA2 hoặc thuật toán phân rã MOEA/D. Các công cụ mô phỏng hiện đại (như ANSYS, COMSOL) cũng tích hợp mô-đun tối ưu đa mục tiêu để hỗ trợ kỹ sư trong quá trình thiết kế.

Tối ưu Pareto trong trí tuệ nhân tạo

Trong lĩnh vực trí tuệ nhân tạo (AI) và học máy (machine learning), tối ưu Pareto được áp dụng trong nhiều kịch bản như lựa chọn mô hình, điều chỉnh siêu tham số (hyperparameter tuning), học tăng cường đa mục tiêu (multi-objective reinforcement learning) và thiết kế kiến trúc mạng nơ-ron. Khi các tiêu chí đánh giá như độ chính xác, độ phức tạp mô hình, thời gian huấn luyện và độ tổng quát không thể đồng thời cực đại, khái niệm Pareto trở nên đặc biệt hữu ích.

Một thuật toán nổi bật được sử dụng là NSGA-II (Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II), được giới thiệu bởi Kalyanmoy Deb vào năm 2002. Đây là một thuật toán tiến hóa dựa trên sắp xếp không chi phối, giữ kho lưu trữ đa dạng các nghiệm Pareto và có khả năng hội tụ nhanh về biên Pareto. Ngoài ra, các phương pháp như SPEA2, MOEA/D và Pareto Simulated Annealing cũng được dùng để tối ưu hóa trong không gian đa mục tiêu.

Ví dụ, khi huấn luyện một mạng học sâu, người dùng có thể tối ưu đồng thời các mục tiêu sau:

• f₁: Độ chính xác trên tập kiểm tra (maximize)
• f₂: Thời gian huấn luyện (minimize)
• f₃: Số lượng tham số mô hình (minimize)

Biên Pareto sẽ cung cấp các cấu hình mạng khác nhau phù hợp với từng mức độ ưu tiên. Một mạng nhỏ hơn có thể có độ chính xác thấp hơn một chút nhưng lại nhanh và gọn, phù hợp cho ứng dụng thời gian thực.

So sánh với tối ưu đơn mục tiêu

Tối ưu đơn mục tiêu là trường hợp đặc biệt của tối ưu hóa trong đó chỉ có một tiêu chí được quan tâm. Bài toán có dạng:

$\text{Minimize } f(x), \quad x \in X$

Trong khi đó, tối ưu đa mục tiêu đòi hỏi tối thiểu hóa đồng thời một vector các hàm mục tiêu. So với bài toán đơn mục tiêu, các đặc điểm khác biệt của tối ưu Pareto bao gồm:

• Tập nghiệm tối ưu là tập hợp (Pareto set), không phải duy nhất.
• Không có khái niệm “tối ưu toàn cục tuyệt đối” như trong đơn mục tiêu.
• Việc chọn nghiệm cuối cùng phụ thuộc vào sở thích người dùng hoặc tiêu chí đánh đổi.

Một cách tiếp cận phổ biến để chuyển bài toán đa mục tiêu về đơn mục tiêu là phép tổng trọng số:

$\text{Minimize } \sum_{i=1}^{k} w_i f_i(x), \quad \text{where } \sum w_i = 1,\quad w_i \geq 0$

Tuy nhiên, phương pháp này chỉ tìm được các điểm trên phần lồi của biên Pareto. Với những bài toán có biên không lồi, kỹ thuật này có thể bỏ sót nhiều nghiệm tối ưu quan trọng.

Trực quan hóa biên Pareto

Đối với các bài toán có 2 hoặc 3 mục tiêu, biên Pareto có thể được trực quan hóa dễ dàng bằng biểu đồ 2D hoặc 3D. Việc này giúp người dùng hiểu rõ mối quan hệ đánh đổi (trade-off) giữa các mục tiêu, từ đó đưa ra quyết định phù hợp.

Một số phương pháp trực quan hóa thường dùng:

• Scatter plot (2D, 3D): biểu diễn điểm nghiệm trong không gian mục tiêu.
• Parallel coordinate plot: dùng cho không gian ≥3 mục tiêu.
• Heatmap và radar chart: biểu diễn tương quan tương đối giữa các mục tiêu.

Các thư viện Python hỗ trợ trực quan hóa bao gồm Matplotlib, Plotly, Seaborn và Pymoo.

Thuật toán tối ưu đa mục tiêu phổ biến

Một số thuật toán được sử dụng rộng rãi để xây dựng biên Pareto có thể kể đến:

Tùy thuộc vào số lượng mục tiêu, dạng biên Pareto và thời gian tính toán, người dùng có thể lựa chọn thuật toán phù hợp.

Hạn chế và thách thức

Mặc dù là công cụ mạnh mẽ, tối ưu Pareto cũng có những hạn chế thực tế. Đầu tiên là chi phí tính toán lớn, đặc biệt khi không gian mục tiêu có nhiều chiều (4 mục tiêu trở lên). Việc xác định toàn bộ biên Pareto trong trường hợp này trở nên không khả thi với thuật toán truyền thống.

Thứ hai, quá trình ra quyết định cuối cùng phụ thuộc vào thông tin ưu tiên từ người dùng. Khi thông tin này không rõ ràng hoặc mâu thuẫn, việc lựa chọn phương án có thể thiên lệch hoặc không hợp lý. Ngoài ra, biên Pareto có thể có quá nhiều phương án, gây khó khăn trong việc trình bày và đánh giá toàn diện.

Một số hướng nghiên cứu khắc phục gồm:

• Áp dụng giảm chiều dữ liệu (PCA, t-SNE) để đơn giản hóa trực quan.
• Sử dụng thuật toán phân cụm để gom nhóm các phương án tương đồng.
• Triển khai mô hình ra quyết định dựa trên học ưu tiên (preference learning).

Tài liệu tham khảo

1. Deb, K., Pratap, A., Agarwal, S., & Meyarivan, T. (2002). A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 6(2), 182–197. https://ieeexplore.ieee.org/document/996017
2. Coello, C.A.C., Lamont, G.B., & Van Veldhuizen, D.A. (2007). Evolutionary Algorithms for Solving Multi-Objective Problems. Springer. https://link.springer.com/book/10.1007/978-0-387-36797-2
3. Emmerich, M.T.M., & Deutz, A.H. (2018). A tutorial on multiobjective optimization: fundamentals and evolutionary methods. Natural Computing, 17(3), 585–609. https://doi.org/10.1007/s11047-018-9685-y
4. Pymoo: Multi-objective optimization in Python. https://pymoo.org/
5. Plotly Python Graphing Library. https://plotly.com/python/